Многоступенчатая схема

Ракетный паром Фон Брауна сбрасывает последнюю ступень. Использованные ступени на ленточных парашютах опускаются на землю для повторного использования.
Художник Chesley Bonestell

Многоступенчатая схема - отчаянная попытка увеличить соотношение масс ракеты для повышения delta V до значения, требуемого для выполнения задания. Для ракеты из одной ступени крайне сложно получить соотношение масс выше 15, и практически невозможно перейти за 20. До какого-то момента можно избавляться от структурной массы, но потом такая потеря в прочности приведёт к тому, что ускорение вырвет крепления и раздавит топливные баки как пустые жестянки.

Без многоступенчатой схемы придётся также строить очень большие ракеты, из-за проблемы "минимального размера". Джерри Пурнелл написал: "Учтите, что для высокого соотношения масс вам нужна БОЛЬШАЯ ракета. Вы не можете сделать определённые части любой ракеты меньше некоторого предела. Это явление называется "минимальный предел размера" и означает, что кое-что просто нельзя сделать тоньше или легче. Камера сгорания должна выдерживать температуру. Трубы должны выдерживать давление. То, что ваша ракета меньше, ещё не означает, что температура или давление в трубах станут пропорционально меньше. Они останутся такими же." Пурнелл также заметил, что многоступенчатые ракеты заставляют разработчиков подсознательно воспринимать ракету не как некий летательный аппарат, а скорее как экзотический боеприпас из большого количества расходных частей. Расходных частей вместо частей многократного использования.

Слева: иллюстрация к The Exploration of the Moon сэр Артур Кларк, (1954) художник R.A. Smith
Справа: "космические карточки" Topps "Space Cards" No. 10. (1958)

Многоступенчатая схема позволяет увеличить общее соотношение масс ракеты за 15, при том, что для отдельной ступени ракеты соотношение всё ещё меньше этого значения. Когда текущая ступень израсходует свою реакционную массу, она сбрасывается. Это избавляет нас от мёртвого груза её двигателей, топливных баков и структурных элементов. По сути, первая ступень - это ракета с полезной нагрузкой в виде остальных ступеней.

художник William Hutchinson

Вы обычно можете столкнуться с многоступенчатой схемой в экстремальных обстоятельствах, когда нужно разогнать значительное количество полезной нагрузки при взлёте с Терры на орбиту с помощью анемичных ракет на химическом топливе, (хотя в книге Joan Vinge THE OUTCASTS OF HEAVEN BELT Защитный Флот использовал скоростные корабли с высоким значением Delta V. Между планетами летали настоящие флотилии многоступенчатых космических аппаратов. ). Вам не потребуется многоступенчатая схема, если вы пользуетесь атомной ракетой. Ступени вряд ли нужны и в глубоком космосе, где всегда можно пользоваться двигателями с высокой скоростью истечения (и высоким удельным импульсом) что, к сожалению, также влияет на соотношение тяги к весу. Скорей всего, оно будет меньше единицы а потому эта система не может использоваться для взлёта с планеты - что в большинстве случаев является единственным недостатком.

Это, в сущности, неплохо. Какой уважающий себя ракетчик захочет лететь на рассыпающемся на части китайском фейерверке, когда можно использовать более спокойные виды транспорта? Это не говоря о том, что ступени - не самый дешёвый расходный материал. Кроме того, увеличивается количество элементов, которые могут поставить миссию под угрозу, если выйдут из строя.

В теории, можно избавляться от пустых топливных баков и двигателей поштучно. В действительности обычно сбрасывают пакет разгонников. Именно так взлетает космический челнок, на пачке твердотопливных разгонников, именно так должен был взлетать Otrag. Этот метод называют "параллельными ступенями".

Многоступенчатая химическая ракета зачастую обладает разной скоростью истечения для отдельных ступеней. Это вызвано сложной оптимизацией, которую я лишь вкратце описал ниже (поскольку сам толком не понимаю). Тем не менее, я понял, что оптимизация в основном имеет отношение к взлёту, а не к перемещениям в космосе

Художник Earl Oliver Hurst.
Диагональные линии - фрагмент системы безопасного спуска ступени. Её корпус формируют параллельные металлические полосы. После сброса, эти полосы с помощью гидравлической системы раскрываются во что-то вроде большого металлического тромбона. Это формирует жёсткий парашют, и позволяет надеяться на то, что после удара о землю ступень уцелеет для повторного использования.

Из книги The Outcasts of Heaven Belt автор Joan Vinge (1978):

Это было подразделение флота Великой гармонии с высоким дельта-ви. Корабли, специально разработанные и снаряжённые для того, чтобы их соотношение топлива-к-массе достигало тысячи к одному. Хотя Рауль Накаморе входил в руководящие эшелоны власти флота Гармонии, он всегда считал их существование бессмысленной растратой крайне нужных ресурсов. По этой причине он раньше не был на борту такого корабля. Но теперь корабль заставил его изменить мнение, как он мог изменить и само будущее.

Его вдавило в мягкое сиденье, пока ускорители на жидком топливе включались, поднимая тягу до двух же. Более чем дискомфортное ощущение для жителя Пояса. Он проверил хронометр на панели. Ускорение продолжится ещё тринадцать сотен секунд, до момента разгона до шестнадцати километров в секунду... и к этому времени будут израсходованы семь тысяч тонн горючего, внешние ступени трёх кораблей и семи дронов. У них всё ещё уйдёт две мегасекунды на то, чтобы добраться до Лансинга - а противник ещё может не быть на месте.

Вернер фон Браун предложил этот Ракетный Паром. Нажмите для перехода к увеличенной картинке.

С помощью многоступенчатой схемы можно увеличить эффективное соотношение масс для всей ракеты. Результаты для каждой ступени умножаются. В этом и заключается основная причина популярности многоступенчатой схемы, несмотря на все её недостатки.

При вычислении delta V отдельной ступени, вы пользуетесь стандартным уравнением delta V , но при вычислении соотношения масс вы используете общую массу всей ракеты за вычетом уже сброшенных ступеней.

Упрощённый пример: Возьмём Звёздное Копьё Тома Свифта. Масса в 100 тонн и три ступени. У каждой ступени химический двигатель. Скорость истечения составляет 4,500 м/с (я просто обожаю его удивительный солнечный ускоритель). Вспоминаем уравнение соотношения масс:

R = (Mpt / Me) + 1

где
R = соотношение масс (число)
Mpt = масса реактивной массы (кг)
Me = сухая масса ракеты (кг)

Допустим, 80% массы Звёздного Копья составляет горючее первой ступени (Очевидно, что при массе корабля 100 тонн, это даст нам Mpt = 80 тонн), 10% отдадим на сухую массу первой ступени, а ещё 10% на массу остальной ракеты (что даст Me = 10 + 10 = 20 тонн).

Подставляем это в уравнение, и получем для первой ступени Звёздного Копья следующее:

R = (Mpt / Me) + 1
R = (80 / 20) + 1
R = 4 + 1
R = 5

Это значит, что delta V первой ступени составит:

Δv = Ve * ln[R]
Δv = 4,500 * ln[5]
Δv = 4,500 * 1.61
Δv = 7250 м/с

Допустим, что две последующие ступени обладают теми же пропорциями (что на самом деле полный бред, но как пример - сойдёт). Общее delta V всех трёх ступеней:

Δv = 3 * 4,500 * ln[5]
Δv = 3 * 4,500 * 1.61
Δv = 3 * 7250
Δv = 21,800 m/s

Помните, эффективное соотношение масс вычисляется из перемножения индивидуальных соотношений масс каждой ступени. Таким образом, Звёздное Копьё получает соотношение масс как у одноступенчатой ракеты с 5 * 5 * 5 = 125! Похоже на истину? Давайте проверим:

R = ev/Ve)
R = e(21,800/4,500)
R = e(4.84)
R = 127

Ну, 127 достаточно близко к 125, поскольку в данном случае нам важна сама идея.

Разумеется, поскольку только 10% каждой ступени составляет груз, реальная грузоподъёмность последней ступени 10% * 10% * 10% = 0.1%, и 0.1% от 100 тонн всего лишь 100 * 0.001 = 0.1 тонны, или 100 килограммов.


Общее значение delta V многоступенчатой ракеты, очевидно, сумма delta V каждой ступени. Поскольку delta V составляет Ve * ln[R], общее delta V трёхступенчатой ракеты составит:

Δv = (Ve1 * ln[R1]) + (Ve2 * ln[R2]) + (Ve3 * ln[R3])

Где
Δv = общее значение deltaV космического аппарата (м/с)
Ve1 = Скорость истечения ступени 1 (м/с)
Ve2 = Скорость истечения ступени 2 (м/с)
Ve3 = Скорость истечения ступени 3 (м/с)
R1 = Соотношение масс реактивной массы ступени 1 to к сухой массе ступени 1 и общей массе ступеней 2 и 3)
R2 = Соотношение масс реактивной массы ступени 2 к сухой массе ступени 2 и общей массе ступени 3)
R3 = Соотношение масс реактивной массы ступени 3 к сухой массе ступени 3

Пример: В ракетном клубе "Галилей" собрали трёхступенчатую ракету. Первая ступень имеет сухую массу 40 килограмм и 50 килограмм реактивной массы, с удельным импульсом 230 секунд (Скорость истечения составит 230 * 9.81 = 2260 м/с). Ступень два имеет сухую массу 22 килограмма, 15 килограмм горючего и удельный импульс 250 секунд (скорость истечения в 2450 м/с). Ступень три обладает сухой массой 12 килограмм и 9 килограммами топлива, с удельным импульсом 250 секунд (скорость истечения 2450 м/с). Полезная нагрузка ракеты 10 килограмм. Чему равно общее значение delta V?

Вы наверное помните, что Соотношение Масс составляет:

R = (Mpt / Me) + 1

Следовательно, для трёх ступеней, соотношение масс будет:

R1= (50 / (40+22+15+12+9+10)) + 1
R1= (50 / 108) + 1
R1= 1.46
R2= (15 / (22+12+9+10)) + 1
R2= (15 / 53) + 1
R2= 1.28
R3= (9 / (12+10)) + 1
R3= (9 / 22) + 1
R3= 1.41

Общее Δv составит:

Δv = (Ve1 * ln[R1]) + (Ve2 * ln[R2]) + (Ve3 * ln[R3])
Δv = (2260 * ln[1.46]) + (2450 * ln[1.28]) + (2450 * ln[1.41])
Δv = (2260 * 0.378) + (2450 * 0.247) + (2450 * 0.344)
Δv = 854 + 605 + 843
Δv = 2302 m/s
Художник Virgil Finlay

Художник Virgil Finlay

Ваша следующая забота - оптимальное соотношение масс каждой ступени. Я боялся этого вопроса. Ответ слегка затруднителен. У вас есть требования к Δv лётного задания Δvm, а также масса полезной нагрузки (погодный спутник, МКБР, командный и лунный модули программы Аполло, межпланетный военный корабль, орбитальный истребитель, ну или что-там-у-вас...).

Для оптимизации многоступенчатой ракеты вы должны последовательно совершить описанные ниже действия. Они взяты из этого раздела. Вы крайне быстро поймёте на собственном опыте, почему это всё зовут "ракетной наукой."


1: ВЫБЕРИТЕ КОЛИЧЕСТВО СТУПЕНЕЙ

Это мы обзовём nstage. Выберите минимальное практичное количество ступеней. Посмотрите на возможные значения nstage и сравните средние различия.


2: ОПРЕДЕЛИТЕ УДЕЛЬНЫЙ ИМПУЛЬС КАЖДОЙ СТУПЕНИ

Высокий удельный импульс - ваша главная забота. При взлёте также необходимо иметь соотношение тяги к весу выше 1.

Но иногда выгодно иметь реактивную массу высокой плотности (что ведёт к уменьшению удельного импульса). Иногда, если реактивная масса высокой плотности применяется в первых ступенях, это позволяет сэкономить на проценте инертной массы и облегчить мёртвый вес первой ступени. Но, только иногда. В других случаях это облегчит саму первую ступень, но увеличит общую массу вашего космического аппарата. Вам придётся проверять это самим.


3: ВЫБЕРИТЕ ПРОЦЕНТ ИНЕРТНОЙ МАССЫ ДЛЯ КАЖДОЙ СТУПЕНИ

Термин "инертная масса" обозначает массу ступени за вычетом топлива и полезной нагрузки. Общий термин "инертная масса" используется потому, что зная только массу груза, мы не имеем никаких способов более-менее точно разобраться с массой структурных элементов. Это забота инженеров после того, как им уже дали денег на разработку, а для наших целей сойдёт и так.

Для нахождения "процента инертной массы" мы делим инертную массу на общую массу ступени.

В существующих химических ракетах инертная масса ступени варьируется от 0.08 до 0.7.


4: ОПРЕДЕЛИТЕ ДОЛЮ Δv КАЖДОЙ СТУПЕНИ

Задача - так поделить между ступеними Δv, чтобы в итоге предельно снизить массу космического аппарата. Единственный способ это сделать - поиграть с доступными комбинациями (посмотрите на шаг 6 ниже).

В особых случаях, когда у ступеней одинаковое соотношение инертной массы и удельного импульса, у них также будет одинаковый процент Δv . Доля составит 1 / nstage. Например, при четырёх ступенях, каждая даст 1/4 = 0.25 = 25% общего Δv.


5: ОПРЕДЕЛИТЕ РАЗМЕР СТУПЕНЕЙ И КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА

Начнём вычисления с последней (верхней) ступени, переходя затем к нижним. Нагрузка верхней ступени - реальная полезная нагрузка нашей ракеты. Нагрузка каждой нижестоящей ступени включает все верхние ступени плюс реальную полезную нагрузку.

Итак, начнём с верхней ступени. Масса её полезной нагрузки - вся наша реальная полезная нагрузка. Удельный импульс (Isp) для этой ступени мы вычислили в шаге 2. Доля инертной массы (finert) вычислена в шаге 3. Ну и доля Δv (fΔv) вычислена в шаге 4.

С этими значениями, мы вычисляем массу реактивной массы, инертную массу, а также изначальную массу нашей ступени.

Для вычисления массы реактивной массы: Удельный Импульс даёт нам Скорость Истечения:

Ve = g0 * Isp

Доля Δv и Δv нашего лётного задания дают Δv ступени:

Δvs = fΔv * Δvm

Δvs и Скорость Истечения дадут нам Соотношение Масс:

R = evs/Ve)

масса полезной нагрузки, соотношение масс и доля инертной массы дадут нам массу реактивной массы:

Mpt = (Mpl * (R-1) * (1 - finert)) / (1 - (finert * R))
где:
Ve = Скорость Истечения (м/с)
Δvm = общее Δv задания
fΔv = доля Δv этой ступени
Δvs = Δv этой ступени
g0 = Ускорение из-за гравитации Земли = 9.81 (м/с2)
Isp = Удельный Импульс (с)
ex = Инвертированная логарифмическая Ln() функция, так называемая "exp(x)" на всех таблицах
finert = доля инертной массы
Mpl = масса полезной нагрузки (кг)
Mpt = масса реактивной массы (кг)

Для вычисления инертной массы:

Minert = (finert / (1 - finert)) * Mpt

Наконец, для вычисления изначальной массы ступени:

M = Mpl + Mpt + Minert

Для следующей нижестоящей ступени и всех последующих за ней, используйте значение изначальной массы вышестоящей ступени M вместо массы полезной нагрузки Mpl, также используйте в формуле значения доли Δv удельный импульс и долю инертной массы для новой ступени. После этого просто подставляйте эти значения в уравнение выше.

Повторяйте, пока не закончите. Изначальная масса M последней ступени будет общей массой вашего космического аппарата. Смысл в том, чтобы сделать её минимальной возможной для поставленного задания.


6: МИНИМИЗИРУЙТЕ МАССУ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ОПТИМИЗАЦИЕЙ ДОЛИ Δv КАЖДОЙ СТУПЕНИ

Доля Δv каждой ступени должна различаться, чтобы подобрать идеальную комбинацию для уменьшения взлётной массы. Это достигается проведением сравнительного анализа доступных вариаций. Что значит, что компьютерной программе, гуманоидной кошке-рабыне или непосредственно вам придётся повторять шаги 4 и 5 в различных комбинациях Δv, пока вы не отыщите наиболее подходящее решение.

С двухступенчатой ракетой это, ну, я бы не стал говорить "легко", но всё же заметно проще чем расчёт для трёхступенчатой ракеты или космического аппарата из ещё большего количества ступеней. Для схемы из двух ступеней очевидно, что как только вы определили процент Δv для одной ступени, вы автоматически подобрали удачное решение для второй ступени (разумеется, это будет 1.0 - fΔv1).

Итак, вы берёте спектр значения доли Δv первой ступени, допустим, от 0.2 до 0.8, и пересчитываете значение шаг за шагом, допустим, по 0.1 за шаг. Вычтите эти значения из 1.0 для вычисления доли второй ступени. Подставьте результаты в россыпь уравнений наверху, и у вас получится что-то вроде такого симпатичного графика:

График из главы Анализ и Дизайн Космического лётного Задания (1999)

На графике вы сможете отыскать минимальное значение инертной массы космического аппарата и соответствующие доли Δv Такая вот оптимизация.

То же самое для трёх и более ступеней вызовет у вас изрядную боль где-то в gluteus maximus.

Нам требуется поиграть с двумя значениями Δv, чтобы найти эффективный минимум. Для трёхступенчатой системы мы повторям нарисованное выше для спектра значений fΔv2 с выбором минимального fΔv1 для каждого fΔv2 (помните, fΔv3 = 1.0 - fΔv1 - fΔv2). Мы можем вычислить изначальную массу космического аппарата (с минимизированным значением fΔv1) и выбрать fΔv2 с минимумом изначальной массы.

Hosted by uCoz