Основной способ формулировать описание вашего корабля - принять решение о том, какие задания будут ему по силам. Корабль Солнечной Гвардии Полярис способен взлететь с Терры, долететь к Марсу, совершить посадку, взлететь, вернуться к Терре и совершить посадку там. Без дополнительных заправок.

Помните, что это невероятно глупый с дизайнерской точки зрения корабль. Любой настоящий разработчик сделает два космических аппарата: шаттл поверхность-орбита и основной корабль для перелётов с орбиты на орбиту.

Главная цифра здесь deltaV. Это способность корабля совершать "измененение скорости", и она традиционно измеряется в метрах в секунду (англ. m/s) или километрах в секунду (англ. km/s). Максимум deltaV означает, как быстро полетит корабль, если он продолжит ускоряться на полном ходу вне любых помех, пока в баках не кончится топливо.

Если это ничего для вас не значит, не волнуйтесь. Здесь важно то, что "задание" можно сформулировать только в том, как много deltaV потребно для его выполнения. Например: взлёт с Терры, орбита Хохмана до Марса и посадка на Марсе требуют deltaV примерно в 18,290 м/с. Если у космического аппарата имеется достаточно deltaV для этой миссии, он способен её выполнить. Сумма всего deltaV составляет бюджет deltaV .

Вот почему лётные качества корабля измеряются в его deltaV вместо "дальности" или ещё какого-то абсолютно бессмысленного с научной точки зрения критерия. В классическом произведении Antares Dawn за авторством Michael McCollum, когда капитан спрашивает рулевого, сколько топлива осталось, тот отвечает, что у них в баках осталось всего лишь 2200 км/с (километров в секунду).

художник John Polgreen

Базовая цена deltaV для взлёта и посадки - это то, что требуется для достижения орбитального (или циркулярного) ускорения: Δvo = sqrt[ (G * Pm) / Pr ] Здесь Δvo = deltaV для взлёта на орбиту или посадки с орбиты (м/с) G = 0.00000000006673 or 6.673e-11 (гравитационная постоянная, и больше ничего не спрашивайте) Pm = масса планеты (кг) Pr = радиус планеты (м) sqrt[x] = корень квадратный из x Пример: Масса Меркурия 3.302e23 кг и радиус 2.439e6 м. sqrt[ (6.673e-11 * 3.302e23) / 2.439e6] = 3006 м/с deltaV для отрыва от планеты .

Δ_vo это формула полёта для космического челнока, когда нужно просто забраться на орбиту, что-то доставить или забрать, и спуститься обратно. Но, если задание вовлекает перемещение к другим планетам, вам придётся использовать Δ_esc. Это скорость убегания а также delta V потребная для посадки из космического пространства, вместо схода с орбиты.

Δ_esc = sqrt[ (2 * G * P_m) / P_r ]

Δ_esc = sqrt[ (1.3346e-10 * P_m) / P_r ]

Пример: масса Меркурия 3.302e23 кг и радиус 2.439e6 м. sqrt[ (1.3346e-10 * 3.302e23) / 2.439e6] = 4251 м/с deltaV скорости убегания.

Так что для нашего Поляриса базовое deltaV взлёта и посадки с Терры: 11,180 m/s, базовое deltaV взлёта и посадки с Марса: 5030 m/s

Эта оценка не включает гравитационные и атмосферные помехи, их слишком тяжело оценить корректно.

Гравитационные помехи зависят от силы притяжения планеты, угла взлёта, а также ускорения космического аппарата. Дя Терры приблизительной оценкой будет 762 m/s (на ускорении в 10 же). В первом приближении формула оценки выглядит следующим образом:

Δ_vd = g_p * t_L

Пример: Сила тяжести на поверхности Меркурия 3.70 м/с. Время взлёта установим в 30 секунд, тогда гравитационные помехи составят 3.70 * 30 = 110 м/с .

Артур Харрил сделал удобный Excel-документ для вычисления deltaV отрыва от любой планеты

Гравитационная помеха нарастает с каждой секундой работы двигателя, так что логично желание сократить время его работы. К сожалению, единственный эффективный способ это сделать - увеличить ускорение, а это вовлекает в рассчёт допустимый предел человеческих возможностей. Трёхкратная перегрузка не проблема (многие современные аттракционы в парках отдыха зачастую подвергают этой перегрузке своих визжащих пассажиров), но десятикратная и более уже нежелательны даже на краткий отрезок времени. Обычный человек терпит шестикратную перегрузку около шести минут без получения постоянных травм, десятикратную - около 18 секунд. Торарин Гуннарссон заметил, что глаза крайне уязвимы к большой перегрузке, хуже только людям с пороком сердца и полным мочевым пузырём. (Спасибо Артуру Полларду за указание ошибок в переносимости перегрузок)

Рисунок Рика Стернбаха. Вертикальная шкала - "же-минуты", делите цифру на ускорение в же, чтобы получить минуты работы двигателя. Пример: Кривая "Forward" пересекает 5 g ускорения примерно в районе 25 g-Minutes. 25 / 5 = 5 минут.

Эта формула вам тоже не пригодится, но... tL = Δvo / A где A = ускорение корабля (м/с2) Ускорение будет разобрано на странице взлёт. Пример: базовая цена deltaV для Меркурия 3006 м/с. При ускорении в 10 g, или 98.1 м/с, получим 3006 / 98.1 = 30 тридцать секунд работы двигателя для взлёта.

художник Ed Emshwiller, 1961

Вам понадобится следующая формула:

A_pg = A / g_p

Δ_vd = Δ_esc / A_pg

Пример: космический корабль способен выдать 10 g (в Терра-гравах), или 98.1 м/с. Гравитация на поверхности Меркурия 3.70 м/с. Таким образом космический аппарат может выдать 98.1 / 3.70 = 26.5 меркуро-гравов. Покольку deltaV для скорости убегания 4251 м/с, мы делим 4251 / 26.5 = 160 м/с гравитационной помехи (что при желании можно притянуть за уши к 110 м/с из справочника и обозвать формулу более-менее корректной).

Атмосферные помехи приходится учитывать на планетах с атмосферами. В Солнечной Системе планет с атмосферами не так много. Во всяком случае таких, на которые стоит садиться. Посадка на Юпитер - быстрый способ превратить ваш корабль в бесформенный комок металла. Для Терры первое приближение атмосферной помехи составляет 610 m/s. Невозможно дать общее уравнение атмосферной помехи из-за слишком большого количества вторичных факторов. Очень приблизительный результат может дать масштабирование с учётом плотности атмосферы, если у вас есть способ измерить эту величину. Так что, общее deltaV для взлёта с Терры 11,180 + 1118 + 610 = 12,908 м/с. Возможно 13,058 если вы добавите 150 м/с для курсовых поправок и дополнительной безопасности.

Обложка журнала Dynamic Science Fiction.

из We Claim These Stars Пола Андерсона, 1959

Теперь нам потребуется установить deltaV для перемещения Земля-Марс На данный момент ходовая космических аппаратов слишком слаба, чтобы справиться с чем-то большим, чем примитивные маневры с минимальным бюджетом по deltaV. Поэтому выгодно пользоваться "орбитой Хохмана". Орбита Хохмана между двумя планетами гарантировано использует минимальное возможное deltaV. Для перемещения с Терры на Марс по такой орбите deltaV составит 5590 м/с. Обратите внимание, что deltaV для выхода на орбиту - 11180 м/с при том, что deltaV с Терры до Марса всего лишь 5590 м/с. Как сказал Роберт Хайнлайн, едва вы выбрались на орбиту Земли, вы уже "на полпути куда угодно."

К сожалению, орбита Хохмана также занимает максимум времени. Для перелёта с Терры на Марс время в пути составит 8.6 месяцев.

Вторым недостатком является время отбытия. Его регулируют так называемые "Синодические периоды" или окно запуска на орбиту Хохмана. Планеты должны занимать правильные позиции. Для миссии Хохмана с Терры на Марс такое окно запуска происходит раз в 26 месяцев. Если вы не произведёте запуск вовремя, по прибытию на место вы не увидите планету - только медленно уменьшающиеся цифры давления в кислородных баках...

Хоп Дэвис вычислил расписание космического поезда для Железной Дороги Хохмана.

В действительности есть ещё один тип перемещения, для которого требуется ещё меньше deltaV чем для орбиты Хохмана, это так называемая "Межпланетная Транспортная Сеть" Но этот вариант ещё более затратен по времени, так что его практическая целесообразность в пилотируемых полётах находится под большим вопросом. Плюс этого решения - мизерные количества deltaV. На другой чаше весов - даже орбита Хохмана в сравнении с этим вариантом быстрее некуда. Так перемещение с Земли на Луну по орбите Хохмана занимает несколько дней, а посредством Межпланетной Транспортной Сети - два года.

Использование большего deltaV чем требуется для орбиты Хохмана может позволить более частые запуски, чем позволяет орбита Хохмана в один синодический период, но это крайне сложно вычисляется (и я не знаю, как). Это отражено в таки называемой "свиной отбивной" на картинке ниже. К счастью (для пользователей Windows) есть программа Swing-by Calculator с http://www.jaqar.com позволяющая вычислить все орбиты за требуемый срок и получить файл, который можно импортировать в Excel, после чего нарисовать "свиную отбивную". Полные инструкции прилагаются к программе, которая на данный момент абсолютно бесплатна для некоммерческого использования.

Время отправки отмечено на одной оси, время прибытия на другой. Каждое пересечение даёт орбиту. Цвет отвечает за количество deltaV. Точка в центре - идеальная орбита Хохмана. Меняя время отбытия, можно установить цену deltaV для запуска не в синодический период. Меняя время прибытия, можно поиграть с ценой уменьшения срока полёта.

Диагональные белые линии отображают время полёта. Так все пересечения между линиями 9 и 10 месяцев больше первого срока и меньше второго.

Да, я знаю, что по этому рисунку орбита Хохмана требует 16,000 м/с deltaV и десять с половиной месяцев вместо 5590 м/с и 8.6 месяцев. Мой единственный вывод - Swing-by Calculator принимает в учёт куда больше переменных, или же я сделал какие-то жуткие ошибки в своих вычислениях. Но, как сказал Том Лерер в своей песне New Math, "Главное тут сама идея."

Для пошаговых инструкций по вычислению deltaV для орбиты Хохмана сходите сюда

Есть более глубокий пример вычисления орбиты Хохмана и более энергоёмких орбит с применением Основ Астродинамики на несравненном сайте Путешествие к Арктуру. Ознакомиться следует с этим, этим, и этим. Обсуждение посвящено превосходству ядерно-ионного двигателя над ядерно-термальным.

Есть неплохие руководства по изучению основ орбитальной механики и траекториям здесь, здесь и здесь.

простой список полезных уравнений приведён по адресу http://scienceworld.wolfram.com/physics/HohmannTransferOrbit.html и в статье http://en.wikipedia.org/wiki/Hohmann_transfer_orbit

Ява-апплет http://www.exodusproject.com/NavComp/index.html

А здесь находится таблица для Excel с названием "Pesky Belter" для вычисления deltaV, времени полёта и синодических периодов.

Эрик Макс Фрэнсис написал бесплатный калькулятор на питоне, доступный здесь. Учтите, что документация рудиментарна, а использование калькулятора требует базовых познаний в этом языке программирования.

Информацию о планетах можно почитать здесь: http://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/planetfact.html

Утилита для Windows под названием Swing-by calculator лежит на http://www.jaqar.com

Бесплатная программа для Windows под названием Orbiter позволяет симулировать полёт по Солнечной системе в реальной физике. Стивен Оулиетт создал адд-он к ней, повторяющий полёт "Перекати-стоуна" из книги Роберта Хайнлайна "Космическое Семейство Стоун" вместе с самим кораблём. (всё это по ссылке вверху).

Вот бюджет deltaV для нашего Поляриса:

Таким образом, крейсер Солнечной Гвардии Полярис нуждается в deltaV как минимум в 47,056 м/с для выполнения своей миссии.

Если ходовая обладает достаточной мощностью для набора deltaV Хохмана вблизи планеты, общие требования к deltaV могут быть снижены. Отрыв и переход на орбиту Хохмана как одно целое, с непрерывной работой двигателей способны реализовать этот хитрый трюк. Обычно deltaV отрыва и орбиты Хохмана складывают, но для непрерывной работы двигателя всё будет иначе:

Δ_vОбщее = sqrt( Δ_{vОтрыва}² + Δ_{vХохмана}²)

Например, вместо отрыва от Марса и перехода на орбиту Хохмана как 5030 + 5590 = 10620 мы получим sqrt( 5030² + 5590² ) = 7520.

Как это работает? Ну, это частный случай эффекта Оберта. (см. ниже). Один долгий разгон означает, что основная масса топлива расходуется в самом низу гравитационного колодца. И, если это вас интересует, многоступенчатые ракеты тоже подпадают под определение "непрерывного разгона", при этом моменты отключения двигателей при смене ступеней игнорируются.

Пересчитанный бюджет deltaV для нашего Поляриса:

Таким образом, Полярису хватит deltaV 39,528 m/s чтобы выполнить полётное задание.

8.6 месяцев в одну сторону - цифра довольно жалкая. Разумеется, большее количество deltaV поможет снизить это время. Ява-апплет http://www.exodusproject.com/NavComp/index.html может вычислить это для вас. Вам требуется поменять значение переменной "semi-latus rectum" нажать кнопку "calculate" и вы увидите новое время и deltaV. (Для Хохмана с Терры на Марс semi-latus rectum составляет 1.207607)

Гораздо проще пользоваться "свиной отбивной" из Swing By Calculator.

Тут вполне неплохо видно, насколько быстро уменьшается выигрыш в цене.

Лёгкий способ ознакомиться с доступными вариантами - Таблица лётных заданий Джона Роджера.

Диаграмма из статьи Ракеты и космические перелёты. Delta V в километрах в секунду. "AB" - сокращение для "aerobraking", торможения в атмосфере планеты.

Wolfkeeper нарисовал диаграмму требований к delta V в меж-лунном и марсианском пространстве.

Эффект Оберта Эффект Оберта - хитрый способ украсть немного delta V у близлежащей планеты. (Нет, это не то же самое, что гравитационная катапульта). Космический аппарат движется по параболической орбите крайне близко к планете (или солнцу) и включает двигатели в момент максимального сближения. От планеты он уходит с куда большим delta V, чем выдают его двигатели в нормальных условиях. Дополнительное ускорение берётся вроде как "из ниоткуда". На самом деле это потенциальная энергия массы выброшенного при разгоне горючего. Чем ближе вы подходите к планете или солнцу, тем лучше. Нижняя точка - перицентр или перигелий (есть масса затейливых названий для перицентра, в зависимости от названия самого небесного тела, по ссылке приведён список). Помните, что расстояние измеряют от центра планеты или солнца, а не от поверхности. Это значит, что перицентр параболической орбиты вашего корабля в 4000 километров при попытке совершить маневр возле Земли, радиус которой составляет 6378 километров приведёт к появлению симпатичной дымящейся воронки. Не забудьте, что атмосферы увеличивают риск. А приближение к Солнцу, к тому же, верный способ поджарить корабль. Сперва вы вычисляете скорость убегания в перицентре: Vesc = sqrt((2 * G * M) / r) r = (2 * G * M) / (Vesc2) где: Vesc = скорость убегания в перицентре (м/с) G = гравитационная постоянная = 6.67428e-11 (м3 кг-1 с-2) M = масса планеты или Солнца (кг) r = перицентр (м)

Пример: Какова скорость убегания в 300 километрах над поверхностью Марса?

300 км = 300,000 метров. Радиус Марса 3,396,000 метров. Так что = 3,396,000 + 300,000 = 3,696,000 метров. Масса Марса 6.4185e23 кг, эту информацию можно почерпнуть в невероятно полезном Списке Фактов о Планетах от НАСА.

Пример: Какой перицентр вокруг Солнца даст скорость убегания в 200 км/с?

200 km/sec = 200,000 м/с. Масса Солнца 1.9891e31 кг.

Точное значение дополнительной delta V после совершения маневра Оберта:

V_f = sqrt((Δ_v + sqrt(V_h² + V_esc²))² - V_esc²)

Δ_v = sqrt(V_f² + V_esc²) - sqrt(V_h² + V_esc²)

Пример: Допустим, вы хотите двигаться по параболической орбите вокруг Солнца со скоростью убегания 200 км/с в перицентре, у вас начальная скорость 3.2 км/c и вы хотите выйти из Маневра Оберта с окончательной скоростью 50 км/c. Нужное вам Δ_v в перицентре вычисляется следующим образом:

V_esc = 200 км/с = 200,000 м/с. V_h = 3.2 км/с = 3200 м/с. V_f = 50 км/с = 50,000 м/с.

итак, 6 km/s Δ_v, превратятся в прирост Δ_v в 46.8 км/с. Вот так. 40.8 км/с. Бесплатно.

Исаак Куо:

Эрик Макс Фрэнсис:

Допустим, мы на круговой орбите на дистанции r вокруг планеты массой M, так, что наша орбитальная скорость вокруг планеты составляет v_cir. Допустим, нам нужна работа двигателя, в итоге которой мы получим v_inf -- то есть, мы закончим с бесконечной скоростью v_inf. (Если это было ради перехода на орбиту Хохмана, то v_inf будет deltaV орбиты Хохмана.)

Таким образом, нам требуется сжечь deltaV для получения начальной скорости v_ini = v_cir + deltav. Deltav нам и нужна. после того, ка работа двигателя оставит нас на скорости v_ini, мы не делаем иных включений двигателя, и находимся под воздействием гравитации. Это означает, что общая энергия сразу после работы двигателя E будет равна общей энергии после того, как мы покинем планету и закончим с нашей гиперболической скоростью, E':

E = E'

K + U = K' + U'

Кинетические энергии очевидны; это просто (1/2) m v² для циркулярной и гиперболической скоростей соответственно. Для потенциальной энергии всё тоже достаточно просто, поскольку U(r) = -G m M/r. Изначально мы на дистанции r; в итоге мы на дистанции r → ∞. Значит:

(1/2) m v_ini² - G m M/r = (1/2) m v_inf² + 0

Можно упростить, заметив, что G m M/r также скорость убегания от планеты на нашей начальной дистанции , которую мы назвали v_esc. Проводим нехитрые вычисления: (1/2) m

v_ini² - v_esc² = v_inf²

теперь подменяем расширенную формулу для v_ini и решаем для deltaV:

deltaV = √(v_inf² + v_esc²) - v_cir

Из книги Космическое семейство Стоун Роберта Хайнлайна (1952). Корабль героев отбыл от Луны и собиратеся выполнить маневр Оберта у Земли на пути к Марсу. Маневр в гравитационном колодце вовлекает то, что может показаться нарушением закона сохранения энергии. Корабль покидающий Луну или космическую станцию на пути к планете может двигаться быстрее и тратить меньше топлива, если сперва он упадёт к Земле, а затем выполнит разгон на минимально возможном расстоянии. Корабль получает кинетическую энергию (скорость) в падении к Земле, но кажется, что он потеряет столько же на удалении. Трюк в том, что топливо само по себе - масса, и при взлёте с Луны получает потенциальную энергию. Реактивная масса использованная для разгона возле Земли (на дне гравитационного колодца) теряет энергию, падая к Земле. Эта энергия должна куда-то деться - и она передаётся кораблю. В итоге одно и то же включение двигателя даёт куда больше, чем прямой отлёт от Луны или космической станции. Математика кажется странной - но работает.